(1999年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y′(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并

admin2019-03-07 38

问题 (1999年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y′(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S₁，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S₂，并设2S₁一S₂恒为1，求此曲线y=y(x)的方程。

选项

答案如图，曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为Y—y(x)=y′(x)(X—x)，所以切线与x轴的交点为[*] [*] 由于y′(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞0(x＞0)，于是 [*] 根据题设2S₁一S₂=1，即[*]两边对x求导并化简得yy"=(y′)²，这是可降阶得二阶常微分方程，令p=y′，则 [*] 则上述方程可化为[*]分离变量得[*]解得p=C₁y,即[*]从而有 y=e^C₁x+C₂ 根据y(0)=1，y′(0)=1，可得C₁=1，C₂=0，故所求曲线得方程为y=e^x。

解析

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考研数学一

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(1999年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y′(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并

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