设A为n阶非零矩阵，且A2＝A，r(A)＝r(0＜r＜n)．求｜5E＋A｜．

admin2017-09-15 86

问题设A为n阶非零矩阵，且A²＝A，r(A)＝r(0＜r＜n)．求｜5E＋A｜．

选项

答案因为A²＝A[*]A(E－A)＝O[*]r(A)＋r(E－A)＝n[*]A可以对角化．由A²＝A，得｜A｜.｜E－A｜＝0，所以矩阵A的特征值为λ＝0或1．因为r(A)＝r且0＜r＜n，所以0和1都为A的特征值，且λ＝1为r重特征值，λ＝0为n－λ重特征值，所以5E＋A的特征值为λ＝6(r重)，λ＝5(n－r重)，故｜5E＋A｜＝5^n-r×6^r．

解析

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设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α1=(-1，-1，1)T，α2=(1，-2，-1)T．求A的属于特征值3的特征向量．
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．求A的特征值与特征向量；
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