设二次型f(x1，x2，x3)=2x12－x22+ax32+2x1x2－8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．

admin2021-01-25 72

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2x₁²－x₂²+ax₃²+2x₁x₂－8x₁x₃+2x₂x₃在正交变换x=Qy下的标准形为λ₁y₁²+λ₂y₂²，求a的值及一个正交矩阵Q．

选项

答案二次型f(x₁，x₂，x₃)的矩阵为 [*] 由题设知Q^－1AQ=Q^TAQ [*] A的一个特征值为零，所以有 [*] 故得a=2．由A的特征方程 [*] =(λ－6)(λ+3)λ=0 得A的全部特征值，不妨设λ₁=6，λ₂=－3，λ₃=0，对于λ₁=6，解方程组(6I－A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ₁=[*](1，0，－1)^T；对于λ₂=－3，解方程组(－3I－A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ₂=[*](1，－1，1)^T；对于λ₃=0，解方程组Ax=0，对应的单位特征向量可取为ξ₃=[*](1，2，1)^T．因此，所求的正交矩阵可取为 Q=(ξ₁，ξ₂，ξ₃) [*]

解析

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考研数学三

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设二次型f(x1，x2，x3)=2x12－x22+ax32+2x1x2－8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．

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