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设二次型f(x1，x2，x3)=2x12+ax22+2x32+2x1x2－2bx1x3+2x2x3，经过正交变换化为3y12+3y22。 (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，使二次型化为标准形。
设二次型f(x1，x2，x3)=2x12+ax22+2x32+2x1x2－2bx1x3+2x2x3，经过正交变换化为3y12+3y22。 (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，使二次型化为标准形。
admin
2017-11-30
55
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2x
1
2
+ax
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
－2bx
1
x
3
+2x
2
x
3
，经过正交变换化为3y
1
2
+3y
2
2
。
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy，使二次型化为标准形。
选项
答案
(Ⅰ)令[*]，则f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax，因为二次型经过正交变化为3y
1
2
+3y
2
2
。所以矩阵A的三个特征值烦恼别为λ
1
=3，λ
2
=3，λ
3
=0，根据矩阵特征值的和是矩阵的迹(对角元素的和)，特征值的乘积是矩阵行列式的值，即有 λ
1
+λ
2
+λ
3
=4+a=6，得a=2， λ
1
λ
2
λ
3
=｜A｜=－2(b+2)(b－1)=0，得b=－2或b=1。 [*] 则存在正交变换x=Qy，使二次型化为标准形3y
1
2
+3y
2
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/e9X4777K
0
考研数学三
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