)设二次型f(x1，x2，x3)=2x12—x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求以的值及一个正交矩阵Q．

admin2019-05-16 79

问题 )设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2x₁²—x₂²+ax₃²+2x₁x₂—8x₁x₃+2x₂x₃在正交变换x=Qy下的标准形为λ₁y₁²+λ₂y₂²，求以的值及一个正交矩阵Q．

选项

答案二次型f(x₁，x₂，x₃)的矩阵为A=[*]．由题设知Q^—1AQ=Q^TAQ=[*]，A的一个特征值为零，所以有 [*] 故得a=2．由A的特征方程 [*] =(λ—6)(λ+3)λ=0 得A的全部特征值，不妨设λ₁=6，λ₂=一3，λ₃=0，对于λ₁=6，解方程组(6I—A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ₁=[*](1，0，一1)^T；对于λ₂=一3，解方程组(一3I一A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ₂=[*](1，一1，1)^T；对于λ₃=0，解方程组Ax=0，对应的单位特征向量可取为ξ₃=[*](1，2．1)^T． Q=(ξ₁，ξ₂，ξ₃)=[*]。

解析

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考研数学一

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)设二次型f(x1，x2，x3)=2x12—x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求以的值及一个正交矩阵Q．

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