设A是三阶矩阵，P是三阶可逆矩阵，已知P一1AP=且Aα1=α1 ，Aα2=α2 ，Aα3=0，则P是( )．

admin2016-12-16 56

问题设A是三阶矩阵，P是三阶可逆矩阵，已知P^一1AP=

且Aα₁=α₁ ，Aα₂=α₂ ，Aα₃=0，则P是( )．

选项 A、[α₁ ，α₂ ，α₁+α₃]
B、[α₂ ，α₃ ，α₁]
C、[2α₁+3α₂ ，一8α₂ ，4α₃]
D、[α₁+α₂ ，α₂+α₃ ，α₃+α₁]

答案C

解析 P的三个列向量是A的对应于特征值的特征向量，判别时要利用下述三条原则：
(1)A的对于同一特征值的特征向量α₁ ，α₂的线性组合如kα₁ ，kα₁+k₂α₂仍是A的属于同一特征值的特征向量；
(2)对于不同特征值的特征向量的线性组合(例如其和或其差)不再是A的特征向量；
(3)P中特征向量的排列次序与对角阵中特征值的排列次序一致．
利用上述原则即可判定正确的选项．
(A)中α₁+α₃不是A的特征向量，(D)中α₂+α₃ ，α₃+α₁也不再是A的特征向量，(B)中特征向量与对角阵中特征值的排列不一致，故均不能充当P．仅(C)入选．
因为α₁、α₂是λ=1的特征向量，α₃是λ=0的特征向量，2α₁+3α₂ ，一8α₂仍是λ=1的特征向量，4α₃仍是λ=0的特征向量，且其排列次序与对角阵中特征值的排列次序一致．
仅(C)入选．

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考研数学三

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