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设函数f(x)在[a,b]上连续,函数g(x)在[a,b]上可积,且g(x)>0,证明存在ξ∈[a,b],使得∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx.
设函数f(x)在[a,b]上连续,函数g(x)在[a,b]上可积,且g(x)>0,证明存在ξ∈[a,b],使得∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx.
admin
2019-02-21
41
问题
设函数f(x)在[a,b]上连续,函数g(x)在[a,b]上可积,且g(x)>0,证明存在ξ∈[a,b],使得∫
a
b
f(x)g(x)dx=f(ξ)∫
a
b
g(x)dx.
选项
答案
∵f(x)在[a,b]上连续 ∴f(x)在[a,b]上取得最大值M和最小值m, 即m≤f(x)≤M,故有∫
a
b
mg(x)dx≤∫
a
b
f(x)g(x)dx≤∫
a
b
Mg(x)dx. 即 m∫
a
b
g(x)dx≤∫
a
b
f(x)g(x)dx≤M∫
a
b
g(x)dx 又g(x)>0,所以∫
a
b
g(x)dx>0, 故[*] 由闭区间上连续函数的介值定理知存在ξ∈[a,b], 使[*] 从而 |f(x)g(x)dx=f(ξ)|g(x)dx.
解析
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0
数学
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