设函数f(x)在[a，b]上连续，函数g(x)在[a，b]上可积，且g(x)＞0，证明存在ξ∈[a，b]，使得∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx．

admin2019-02-21 43

问题设函数f(x)在[a，b]上连续，函数g(x)在[a，b]上可积，且g(x)＞0，证明存在ξ∈[a，b]，使得∫_a^bf(x)g(x)dx=f(ξ)∫_a^bg(x)dx．

选项

答案∵f(x)在[a，b]上连续 ∴f(x)在[a，b]上取得最大值M和最小值m，即m≤f(x)≤M，故有∫_a^bmg(x)dx≤∫_a^bf(x)g(x)dx≤∫_a^bMg(x)dx．即 m∫_a^bg(x)dx≤∫_a^bf(x)g(x)dx≤M∫_a^bg(x)dx 又g(x)＞0，所以∫_a^bg(x)dx＞0，故[*] 由闭区间上连续函数的介值定理知存在ξ∈[a，b]，使[*] 从而｜f(x)g(x)dx=f(ξ)｜g(x)dx．

解析

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