设函数f(x)有连续导数，F(x)=∫0xf(t)f’(2a－t)dt，证明： F(2a)－2F(a)=f2(a)－f(0)f(2a)．

admin2018-09-25 42

问题设函数f(x)有连续导数，F(x)=∫₀^xf(t)f’(2a－t)dt，证明：
F(2a)－2F(a)=f²(a)－f(0)f(2a)．

选项

答案F(2a)－2F(a)=∫₀^2af(t)f’(2a－t)dt－2∫₀^af(t)f’(2a－t)dt =∫_a^2af(t)f’(2a－t)dt－∫₀^af(t)f’(2a－t)dt，其中∫_a^2af(t)f’(2a－t)dt=f²(a)－f(0)f(2a)+∫_a^2af(2a－x)f’(t)dt，所以原式=f²(a)－f(0)f(2a)+∫_a^2af(2a－t)f’(t)dt－∫₀^af(t)f’(2a－t)dt，又∫_a^2af(2a－t)f’(t)dt[*]∫₀^af(u)f’(2a－u)du=∫₀^af(t)f’(2a－t)dt，所以 F(2a)－2F(a)=f²(a)－f(0)f(2a)．

解析

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考研数学一

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