有100人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50 人，未参加跳高的有60人，未参加赛跑的有70人。问至少有多少人参加了不止一个项目?( )

admin2016-01-14 63

问题有100人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50 人，未参加跳高的有60人，未参加赛跑的有70人。问至少有多少人参加了不止一个项目?( )

选项 A、7
B、10
C、15
D、20

答案B

解析根据题目条件计算易知：参加跳远的有50人，参加跳高的有40人，参加赛跑的有30人，设只参加一个项目的有x人，只参加两个项目的有y人，三个项目都参加的有z人，根据三集合容斥原理公式可得：

参加了不止一个项目的人数为y+z，题目希望这个数越小越好。在实际计算中，我们可能有不同的算法：
(1)原方程组消掉x．得到y+2z=20，所以y+z=20一z，当z最大时y+z最小，又由于y+2z=20，所以z最大为10，那么y+z最小为20—10=10；
(2)原方程组消掉x．得到y+2z=20，所以2y+2z=20+y．得到y+z=10+0．5y．显然y+z最小为10；
(3)原方程组消掉z，得到2x+y=180，显然x最大为90，那么y+z最小为100—90=10。
综上，选择B。三种方法都是可行的，甚至还有很多其他的方法，考场上想到哪种就用哪种。

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有100人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50 人，未参加跳高的有60人，未参加赛跑的有70人。问至少有多少人参加了不止一个项目?( )

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