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  3. 设矩阵 其中ai，bi(i=1，2，…，n)不全为零．设tr(A)=a．证明： (Ⅰ)a≠0，矩阵相似于对角阵； (Ⅱ)a=0，矩阵不能相似于对角阵．

设矩阵 其中ai，bi(i=1，2，…，n)不全为零．设tr(A)=a．证明： (Ⅰ)a≠0，矩阵相似于对角阵； (Ⅱ)a=0，矩阵不能相似于对角阵．

admin2020-12-17  56
问题 设矩阵

其中ai，bi(i=1，2，…，n)不全为零．设tr(A)=a．证明：
(Ⅰ)a≠0，矩阵相似于对角阵；
(Ⅱ)a=0，矩阵不能相似于对角阵．
选项
答案(Ⅰ)设α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T，则矩阵A=αβT． 于是 A2=AA=(αβT)(αβT)=(βTα)αβT =([*]aibi)A=tr(A)．A=aA． 设λ是A的特征值，ξ是对应的特征向量，则 A2ξ=aAξ，λ2ξ=aλξ，(λ2一aλ)ξ=0． 由于ξ≠0，故有λ(λ—a)=0．所以，矩阵A的特征值是0或a．又因为[*]λi=tr(A)=a≠0，所以λ1=a是A的1重特征值，λ2=λ3=…=λn=0是A的n一1重特征值． 对于特征值λ2=λ3=…=λn=0，齐次线性方程组(0．E一A)x=0其系数矩阵的秩 r(0．E—A)=r(一A)=r(A) =r(αβT)≤min{r(α)，r(βT)}=1． 又因为tr(A)=[*]aibi=a≠0，ai，bi(i=1，2，…，n)不全为零．由此可知 r(A)≥1． 所以r(0．E—A)=1．因此，矩阵A的属于n一1重特征值0的线性无关的特征向量个数为n一1． 从而，A有n个线性无关的特征向量，故A相似于对角矩阵． (Ⅱ)当tr(A)=0时，λ=0是A的n重特征值．但因ai，bi(i=1，2，…，n)不全为零，故A≠0，因而A不相似于对角阵．
解析
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考研数学三

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