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已知方程组 的一个基础解系为(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2，2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn，2n)T．试写出线性方程组 的通解，并说明理由．
已知方程组 的一个基础解系为(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2，2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn，2n)T．试写出线性方程组 的通解，并说明理由．
admin
2016-05-09
107
问题
已知方程组
的一个基础解系为(b
11
，b
12
，…，b
1，2n
)
T
，(b
21
，b
22
，…，b
2，2n
)
T
，…，(b
n1
，b
n2
，…，b
n，2n
)
T
．试写出线性方程组
的通解，并说明理由．
选项
答案
由题意可知，线性方程组(Ⅱ)的通解为 y＝c
1
(a
11
，a
12
，…，a
1，2n
)
T
＋c
2
(a
21
，a
22
，…，a
2，2n
)
T
＋…＋c
n
(a
n1
，a
n2
，…，a
n，2n
)
T
， 其中c
1
，c
2
，…，c
n
是任意的常数． 这是因为： 方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的系数矩阵分别为A，B，则根据题意可知AB
T
＝0，因此 BA
T
＝(AB
T
)
T
＝0。 可见A的n个行向量的转置为(Ⅱ)的n个解向量． 由于B的秩为n，因此(Ⅱ)的解空间的维数为2n－r(B)＝2n－n＝n，又因为A的秩是2n与 (Ⅰ)的解空间的维数的差，即n，因此A的n个行向量是线性无关的，从而它们的转置向量构成 (Ⅱ)的一个基础解系，因此得到(Ⅱ)的上述的一个通解．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/crw4777K
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考研数学一
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