设f(x)是以T为周期的可微函数，则下列函数中以T为周期的函数是 ( )

admin2018-11-22 46

问题设f(x)是以T为周期的可微函数，则下列函数中以T为周期的函数是 ( )

选项 A、∫₀¹f(t)dt
B、∫₀¹f(t²)dt
C、∫₀¹f’(t²)dt
D、∫₀¹f(t)f’(t)dt

答案D

解析当g(x+T)=g(x)时，因为
∫₀^x+TTg(t)dt=∫₀^xg(t)dt+∫_x^x+Tg(t)dt=∫₀^xg(t)dt+∫₀^Tg(t)dt，若∫₀^x+Tg(t)dt=∫₀^xg(t)dt，则∫₀^Tg(t)dt=0．反之，若∫₀^Tg(t)dt=0，则∫₀^x+Tg(t)dt=∫₀^xg(t)dt．
因为f(x)是以T为周期的函数，所以四个选项中的被积函数都是以T为周期的周期函数，但是仅∫₀^Tf(t)f’(t)dt=

[f(t)]²｜₀^T=

[f²(T)－f²(0)]=0，
因此，只有∫₀^xf(t)f’(t)dt是以T为周期的函数．

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考研数学一

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