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已知线性方程组有非零解，而且矩阵是正定矩阵． 求当xTx=2时，XTAX的最大值，其中X=(x1，x2，x3)T为3维实向量．
已知线性方程组有非零解，而且矩阵是正定矩阵． 求当xTx=2时，XTAX的最大值，其中X=(x1，x2，x3)T为3维实向量．
admin
2018-07-27
107
问题
已知线性方程组
有非零解，而且矩阵
是正定矩阵．
求当x
T
x=2时，X
T
AX的最大值，其中X=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
为3维实向量．
选项
答案
A的最大特征值为10，设对应的单位特征向量为髻(即Aξ=10ξ，且ξ
T
ξ=1)．对二次型X
T
AX，存在正交变换X=PY化其为标准形：X
T
AX=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+λ
3
y
3
2
≤10(y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
)，当X
T
X=Y
T
Y=y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
=2时，有X
T
AX≤10×3=20，又X
0
=[*]ξ满足X
0
T
X
0
=2，则X
0
T
AX
0
=([*]ξ)=2ξ
T
(Aξ)=2ξ
T
(10ξ)=20(ξ
T
ξ)=20，综上可知[*]X
T
AX=20．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/cXW4777K
0
考研数学三
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