2. 考研
  3. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)= f(1)=0,,试证： 对任意实数λ，必定存在ξ∈(0,η)，使得f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]=1.

设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)= f(1)=0,,试证： 对任意实数λ，必定存在ξ∈(0,η)，使得f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]=1.

admin2022-09-05  101
问题 设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)= f(1)=0,,试证：
对任意实数λ，必定存在ξ∈(0,η)，使得f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]=1.
选项
答案设F(x)=e－λxΦ(x)=e－λx[f(x)－x],则F(x)在[0,η]上连续，在(0,η)内可导，且 F(0)=0,F(η)=e－ληΦ(η)=0 即F(x)在[0,η]上满足罗尔定理的条件，故存在ξ∈(0,η)使得 F’(ξ)=0,即e－λξ{f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]－1}=0 从而f’(ξ)－λ[f(ξ)－ξ]=1
解析
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考研数学三

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