(I)求在区间[0，+∞)上的最大值； (Ⅱ)证明当0≤x

admin2014-04-16 53

问题 (I)求

在区间[0，+∞)上的最大值；
(Ⅱ)证明当0≤x<+∞时，arctan3x≤In(1+4x)，且仅当x=0时等号成立。

选项

答案(I)[*]令f^’(x)=0得[*](不在区间[0，+∞)内)．[*]易知[*]为f(x)的极大值．因在[0，+∞)内，f(x)有唯一驻点x₂是极大值点,故f(x₂)为f(x)在区间[0，+∞)内的最大值，最大值为[*] (II)令φ(x)=arctan3x—ln(1+4x)，0≤x＜+∞．φ(0)=0，[*][*]由(I)知，当0≤x＜+∞时，[*]且仅在x=x₂时等号成立，并且[*],所以φ^’(x)≤0且仅当x=x₂时等号成立．所以当0≤x＜+∞时φ(x)≤0且仅当x=0时成立等号，证毕，本题还有多种解法．

解析

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