设三阶矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3对应的特征向量依次为α1=（1，1，1）T，α2=（1，2，4）T，α3=（1，3，9）T。（Ⅰ）将向量β=（1，1，3）T用α1，α2，α3线性表示；（Ⅱ）求Anβ。

admin2017-12-29 23

问题设三阶矩阵A的特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=3对应的特征向量依次为α₁=（1，1，1）^T，α₂=（1，2，4）^T，α₃=（1，3，9）^T。
（Ⅰ）将向量β=（1，1，3）^T用α₁，α₂，α₃线性表示；
（Ⅱ）求Aⁿβ。

选项

答案（Ⅰ）设x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃=β，即 [*] 解得x₁=2，x₂=一2，x₃=1，故β=2α₁一2α₂+α₃。（Ⅱ）Aβ=2Aα₁一2Aα₂+Aα₃，则由题设条件及特征值和特征向量的定义可得 Aⁿβ=2Aⁿα₁一2Aⁿα₂+Aⁿα₃=2α₁一2×2ⁿα₂+3ⁿα₃=[*]

解析

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考研数学三

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