试证：对任意自然数n>1，方程xn+xn-1=1在(，1)内有唯一实数根．

admin2013-12-11 41

问题试证：对任意自然数n>1，方程xⁿ+x^n-1=1在(

，1)内有唯一实数根．

选项

答案令f(x)=xⁿ+x^n-1+…+x-1．则[*] f(1)=n-1，因n>1，所以f(1)>0．因.[*]f(1)＜0，所以至少存在一点ξ∈([*]，1)，使得f(ξ)=0．又f’(x)=nx^n-1+(n-1)x^n-2+…+1＞0，所以f(x)单调增加，因此f(x)=0有且仅有唯一实根，即f(ξ)=0，且ξ为唯一的，故方程(xⁿ+x^n-1+…+x)=1在([*]，1)内有唯一实数根．

解析

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