2. 考研
  3. 设an=∫0π/4tannxdx(n≥2)，证明：1/2(n+1)＜an＜1/2(n-1).

设an=∫0π/4tannxdx(n≥2)，证明：1/2(n+1)＜an＜1/2(n-1).

admin2022-08-19  22
问题 设an=∫0π/4tannxdx(n≥2)，证明：1/2(n+1)＜an＜1/2(n-1).
选项
答案an+an+2=∫0π/4(1+tan2x)tannxdx=∫0π/4tannxd(tanx)=[1/(n+1)]tann+1x|0π/4=1/(n+1)，同理an+an-1=1/(n-1)。因为tannx，tann+2x在[0，π/4]上连续，tannx≥tann+1x，且tannx，tann+2x不恒等，所以∫0π/4tannxdx＞∫0π/4tann+2xdx，即an＞an+2， 于是1/(n+1)+an+an+2＜2an，即an＞1/2(n+1)，同理可证an＜1/2(n-1).
解析
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考研数学三

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