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  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记

admin2021-01-19  71
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记
选项
答案(Ⅰ)记[*] 由于 f (x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+ (b1x1+ b2x2+ b3x3)2 = 2[(x1，x2，x3)[*](a1，a2，a3)[*]+[(x1，x2，x3)[*](b1，b2，b3)[*]] =2xT(ααT)x+xT(ββT)x =xT(2ααT+ββT)xT， 又2ααT+ββT为对称矩阵，所以二次型f的矩阵为2ααT+ββT． (Ⅱ)记矩阵A=2ααT+ββT．由于α，β正交且为单位向量，即αTα=1，βTβ=1，αTβ=βTα=0，所以 Aα=(2ααT+ββT)α=2α， Aβ(2ααT+ββT)β=β， 于是λ1=2，λ2=1是矩阵A的特征值．又 r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2，所以λ3=0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
解析 本题综合考查向量的内积和正交等概念、二次型的矩阵和在正交变换下的标准形等概念、特征值与特征向量的概念、矩阵的秩的有关性质．本题证明中多次用到了向量内积的可交换性(对称性)，例如(Ⅰ)中a1x1+a2x2+a3x3既可写成(x1，x2，x3)，也可写成(a1，a2，a3)，即xTα=αTx，从而得 (a1x1+a2x2+a3x3)2=xTααTx=xT(ααT)x，本题(Ⅱ)中利用3阶矩阵A的秩小于3从而得到A有特征值0的方法较为简单，另一种方法是：注意也可以将A的行列式写成|A|=|2a1α+b1β  2a2α+b2β  2a3α+b3β|，然后利用行列式关于列的可加性，可将A的行列式表成8个行列式之和，但没有必要具体写，出，因为其中每一个行列式至少有两列成比例，从而都等于0，于是得A的行列式为零，由此也可得到λ3=0是矩阵A的特征值．
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考研数学二

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