求微分方程yˊˊ+yˊ－2y=xex+sin2x的通解．

admin2019-06-29 87

问题求微分方程yˊˊ+yˊ－2y=xe^x+sin²x的通解．

选项

答案特征方程为λ²+λ－2=0，特征值为λ₁=－2，λ₂=1，yˊˊ+yˊ－2y=0的通解为y=C₁e^－2x+C₂e^x．设 yˊˊ+yˊ－2y=xe^x (*) yˊˊ+yˊ －2y=sin²x (**) 令(*)的特解为y₁(x)=(ax²+bx)e^x，代入(*)得a=[*]，b=[*]，由yˊˊ+yˊ－2y=sin²x得yˊˊ+yˊ－2y=[*](1－cos2x)，显然yˊˊ+yˊ－2y=[*]有特解y=[*]．对yˊˊ+yˊ－2y=－[*]cos2x，令其特解为y=Acos2x+Bsin2x．代入得A=[*],B=[*]．则y₂(x)=[*]，所以原方程的通解为 y=C₁e^－2x+C₂e^x+[*]

解析

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考研数学二

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