2. 考研
  3. 设A=E+αβT，其中α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2． (1)求A的特征值和特征向量； (2)求可逆P，使得P－1AP=A．

设A=E+αβT，其中α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2． (1)求A的特征值和特征向量； (2)求可逆P，使得P－1AP=A．

admin2016-09-19  57
问题 设A=E+αβT，其中α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=2．
(1)求A的特征值和特征向量；
(2)求可逆P，使得P－1AP=A．
选项
答案(1)设 (E+αβT)ξ=λξ． ① 左乘βT，βT(E+αβT)ξ=(βT+βTαβT)ξ=(1+βTα)βTξ=λβTξ， 若βTξ≠0，则λ=1+βTα=3；若βTξ=0，则由①式，λ=1． λ=1时，(E－A)X=－αβTX=－αβTX=[*][b1，b2,…，bn]X=0， 即[b1，b2，…，bn]X=0，因αTβ=2，故α≠0，β≠0，设b1≠0，则 ξ1=[b2，－b1，0，…，0]T，ξ2=[b3，0，－b1，0]T，…，ξn－1=[bn，0，…，0，－b1]T； λ=3时，(3E－A)X=(2E－αβT)X=0，ξn=α=[a1，a2，…，an]T (2)取 P=[ξ1，ξ2，…，ξn－1，ξn]=[*] P－1AP=[*]
解析
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考研数学三

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