已知λ1，λ2是矩阵A两个不同的特征值，α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt分别是矩阵A属于特征值λ1和λ2的线性无关的特征向量．证明：α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关．

admin2018-06-12 73

问题已知λ₁，λ₂是矩阵A两个不同的特征值，α₁，α₂，…，α_s和β₁，β₂，…，β_t分别是矩阵A属于特征值λ₁和λ₂的线性无关的特征向量．证明：α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t线性无关．

选项

答案按特征值定义，有 Aα_i＝λ₁α_i(i＝1，2，…，s)，Aβ_j＝λβ_j(j＝1，2，…，t)．如果k₁α₂＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＋l₁β₁＋l₂β₂＋…＋l_tβ_t＝0， (1) 用A左乘(1)式两端，有 λ₁k₁α₁＋λ₁k₂α₂＋…＋λ₁k_sα_s＋λ₂l₁β₁＋λ₂l₂β₂＋…＋λ₂l_tβ_t＝0． (2) 由(1)×λ_i－(2)得 (λ₁－λ₂)(l₁β₁＋l₂β₂＋…＋l_tβ_t)＝0．因为λ₁≠λ₂，故 l₁β₁＋l₂β₂＋…＋l_tβ_t＝0．由于β₁，β₂，…，β_t线性无关，故必有l₁＝0，l₂＝0，…，l_t＝0．同理可证k₁＝0，k₂＝0，…，k_s＝0．从而α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t线性无关．

解析

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考研数学一

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已知λ1，λ2是矩阵A两个不同的特征值，α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt分别是矩阵A属于特征值λ1和λ2的线性无关的特征向量．证明：α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关．

考研数学一

设A是秩为3的5×4矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Aχ＝b的三个不同的解，如果α1＋α2＋2α3＝(2，0，0，0)T，3α1＋α2＝(2，4，6，8)T，则方程组Aχ＝b的通解是_______．

设方程组(1)与方程(2)χ1＋2χ2＋χ3＝a－1有公共解，求a的值及所有公共解．

已知方程组有解，证明：方程组无解．

设在一个空间直角坐标系中，有3张平面的方程：P1：χ＋2y＋3z＝3；P2：2χ一2y＋2az＝0；P3：χ－ay＋z＝b．已知它们两两相交于3条互相平行的不同直线，求a，b应该满足的条件．

下列等式或不等式中正确的共有

设平面上连续曲线y＝f(χ)(a≤χ≤b，f(χ)＞0)和直线χ＝a，χ＝b及χ轴所围成的图形绕χ轴旋转一周所得旋转体的质心是(，0，0)，则的定积分表达式是_______．

设三元线性方程组有通解求原方程组．

求不定积分

微分方程的特解是________

设平面曲线L上一点M处的曲率半径为ρ，曲率中心为A，AM为L在点M处的法线，法线上的两点P，Q分别位于L的两侧，其中P在AM上，Q在AM的延长线AN上，若P，Q满足｜AP｜．｜AQ｜=ρ2，称P，Q关于L对称．设L：y=．(1)求点M，使得L在M

目前，在市场上销售的微型计算机中，标准配置的输入设备是

慢性胰腺炎最突出的症状是

下列选项中，属于全国人大专门委员会的有()。

以下幕墙中，不属于框支承构件式玻璃幕墙的是：

广义刑法是指(　)。

关于typedef的叙述中正确的是()。

使用VC++6．0打开考生文件夹下的源程序文件2．cpp。阅读下列函数说明和代码，完成空出部分程序。函数sum(intA[NUM][NUM]，intn)的功能是计算矩阵中所有非质数数字的和。提示：函数isPrime(intn)的功能是判定当

完整报表设计通常山报表页眉、报表页脚、页面页眉、页面页脚、【】、组页眉和组页脚7个部分组成。

已知λ1，λ2是矩阵A两个不同的特征值，α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt分别是矩阵A属于特征值λ1和λ2的线性无关的特征向量．证明：α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关．

考研数学一

设A是秩为3的5×4矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Aχ＝b的三个不同的解，如果α1＋α2＋2α3＝(2，0，0，0)T，3α1＋α2＝(2，4，6，8)T，则方程组Aχ＝b的通解是_______．

设方程组(1)与方程(2)χ1＋2χ2＋χ3＝a－1有公共解，求a的值及所有公共解．

已知方程组有解，证明：方程组无解．

设在一个空间直角坐标系中，有3张平面的方程：P1：χ＋2y＋3z＝3；P2：2χ一2y＋2az＝0；P3：χ－ay＋z＝b．已知它们两两相交于3条互相平行的不同直线，求a，b应该满足的条件．

下列等式或不等式中正确的共有

设平面上连续曲线y＝f(χ)(a≤χ≤b，f(χ)＞0)和直线χ＝a，χ＝b及χ轴所围成的图形绕χ轴旋转一周所得旋转体的质心是(，0，0)，则的定积分表达式是_______．

设三元线性方程组有通解求原方程组．

求不定积分

微分方程的特解是________

设平面曲线L上一点M处的曲率半径为ρ，曲率中心为A，AM为L在点M处的法线，法线上的两点P，Q分别位于L的两侧，其中P在AM上，Q在AM的延长线AN上，若P，Q满足｜AP｜．｜AQ｜=ρ2，称P，Q关于L对称．设L：y=．(1)求点M，使得L在M

目前，在市场上销售的微型计算机中，标准配置的输入设备是

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下列选项中，属于全国人大专门委员会的有()。

以下幕墙中，不属于框支承构件式玻璃幕墙的是：

广义刑法是指( )。

关于typedef的叙述中正确的是()。

使用VC++6．0打开考生文件夹下的源程序文件2．cpp。阅读下列函数说明和代码，完成空出部分程序。函数sum(intA[NUM][NUM]，intn)的功能是计算矩阵中所有非质数数字的和。提示：函数isPrime(intn)的功能是判定当

完整报表设计通常山报表页眉、报表页脚、页面页眉、页面页脚、【】、组页眉和组页脚7个部分组成。

广义刑法是指(　)。