已知λ1，λ2是矩阵A两个不同的特征值，α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt分别是矩阵A属于特征值λ1和λ2的线性无关的特征向量．证明：α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关．

admin2018-06-12 91

问题已知λ₁，λ₂是矩阵A两个不同的特征值，α₁，α₂，…，α_s和β₁，β₂，…，β_t分别是矩阵A属于特征值λ₁和λ₂的线性无关的特征向量．证明：α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t线性无关．

选项

答案按特征值定义，有 Aα_i＝λ₁α_i(i＝1，2，…，s)，Aβ_j＝λβ_j(j＝1，2，…，t)．如果k₁α₂＋k₂α₂＋…＋k_sα_s＋l₁β₁＋l₂β₂＋…＋l_tβ_t＝0， (1) 用A左乘(1)式两端，有 λ₁k₁α₁＋λ₁k₂α₂＋…＋λ₁k_sα_s＋λ₂l₁β₁＋λ₂l₂β₂＋…＋λ₂l_tβ_t＝0． (2) 由(1)×λ_i－(2)得 (λ₁－λ₂)(l₁β₁＋l₂β₂＋…＋l_tβ_t)＝0．因为λ₁≠λ₂，故 l₁β₁＋l₂β₂＋…＋l_tβ_t＝0．由于β₁，β₂，…，β_t线性无关，故必有l₁＝0，l₂＝0，…，l_t＝0．同理可证k₁＝0，k₂＝0，…，k_s＝0．从而α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t线性无关．

解析

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考研数学一

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已知λ1，λ2是矩阵A两个不同的特征值，α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt分别是矩阵A属于特征值λ1和λ2的线性无关的特征向量．证明：α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关．

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