设在区间[0，2]上，｜f(x)｜≤1，｜f"(x)｜≤1。证明：对于任意的x∈[0，2]，有｜f’(x)｜≤2。

admin2018-05-25 60

问题设在区间[0，2]上，｜f(x)｜≤1，｜f"(x)｜≤1。证明：对于任意的x∈[0，2]，有
｜f’(x)｜≤2。

选项

答案对任意的x∈[0，2]，将函数按(y一x)的幂展开成二次泰勒多项式为 f(y)=f(x)+f’(x)(y—x)+[*](y—x)²。令y=0和y=2，得 f(0)=f(x)一f’(x)x+[*]x²，x＜ξ₁＜x。 f(2)=f(x)+f’(x)(2一x)+[*](2一x)²，x＜ξ₂＜2。上面两式相减，得 f(2)一f(0)=2f’(x)+[*][f"(ξ₂)(2一x)²一f"(ξ₁)x²]，即 f’(x)=[*][f"(ξ₂)(2一x)²一f"(ξ₁)x²]。由题设条件，｜f(x)｜≤1，且｜f"(x)｜≤1，则｜f’(x)｜≤[*][｜f"(ξ₂)"(2一x)²+｜f"(ξ₁)｜x²] ≤1+[*][(2一x)²+x²]≤2。命题得证。

解析

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考研数学一

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