[2009年2]e-xsinnx dx=__________．

admin2019-04-05 53

问题 [2009年2]

e^-xsinnx dx=__________．

选项

答案先用分部积分法求出定积分，再求极限．解一令I_n=∫e^-xsinxdx=－∫sinx de^-x=－e^-xsinnx+n∫e^-x cosnx dx =－e^-xsinnx－n∫cosnx de^-x=一e^-xsinnx一ne^-xcosnx一n²∫e^-xsinnxdx =一e^-xsinnx一ne^-xcosnx一n²I_n，故I_n=[*]e^-x，所以 ∫₀¹e^-xsinnxdx=一[*] 因而[*]=0．解二因e^-x在[0，1]上连续，故e^-x在[0，1]上有界．事实上，在[0，1]上有e^-x≤1，于是 0≤∣∫₀¹e^-xsinnx dx∣≤1.∫₀¹sindx=一[*] 由夹逼准则得 [*]∫₀¹e^-xsinndx∣=0，从而[*]∫₀¹e^-xsinnx dx=0．

解析

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