设f(x)=1/(2x+1)，则f(n)(0)=________．

admin2022-10-09 23

问题设f(x)=1/(2x+1)，则f⁽ⁿ⁾(0)=________．

选项

答案(-1)ⁿn!2ⁿ

解析 f’(x)=[(2x+1)^-1]’=(-1)(2x+1)^-2·2，f"(x)=[(2x+1)^-1]"=(-1)(-2)(2x+1)^-3·2²，由数学归纳法得f⁽ⁿ⁾(x)=(-1)(-2)…(-n)(2x+1)^-(n+1)·2ⁿ=(-1)ⁿn!2ⁿ/(2x+1)ⁿ⁺¹，故f⁽ⁿ⁾(0)=(-1)ⁿn!2ⁿ．

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