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已知，且A的行和相等。 (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)A能否相似对角化，若能，请求出正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若不能，请说明理由。
已知，且A的行和相等。 (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)A能否相似对角化，若能，请求出正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若不能，请说明理由。
admin
2016-02-27
44
问题
已知
，且A的行和相等。
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)A能否相似对角化，若能，请求出正交矩阵Q使得Q
T
AQ为对角矩阵，若不能，请说明理由。
选项
答案
(Ⅰ)由于矩阵行和相等，且第三行的行和为5，所以有 1+a+2=5，2+b+a=5， 解得a=2，b=1。 (Ⅱ)将a和b的值代入矩阵得 [*] 可知A是实对称矩阵，故A一定可以相似对角化。 由｜λE-A｜=0可得 (λ+1)
2
(λ-5)=0， 解得λ=-1(二重根)和5。 由(-E-A)x=0可得线性方程组的基础解系为 (1，0，-1)
T
，(0，1，-1)
T
， 即特征值-1所对的两个线性无关的特征向量为 α
1
=(1，0，-1)
T
，α
2
=(0，1，-1)
T
。 又因矩阵A的行和为5，所以特征值5对应的一个特征向量为α
3
=(1，1，1)
T
。 将上述三个向量正交化，得 β
1
=(1，0，-1)
T
， [*] β
3
=(1，1，1)
T
， 将其单位化即得正交矩阵 [*]
解析
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考研数学二
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