求曲线y=∫0xf(t)dt与y=2x—1交点的个数．其中f(x)在[0，1]上连续，f(x)＜1．

admin2017-07-26 69

问题求曲线y=∫₀^xf(t)dt与y=2x—1交点的个数．其中f(x)在[0，1]上连续，f(x)＜1．

选项

答案令φ(x)=2x—∫₀^xf(t)dt一1，则φ(x)在[0，1]上连续，且 φ(0)=0—0—1=一1＜0， φ(1)=2一∫₀¹f(x)dx一1=1一∫₀¹f(x)dx＞0，(因为f(x)＜1) 所以，由零值定理，存在点ξ∈(0，1)，使得φ(ξ)=0．又φ’(x)=2一f(x)＞0，可知φ(x)在[0，1]内单增．故φ(x)在(0，1)内有且仅有一个零点，即曲线y=∫₀^xf(x)dt与y=2x一1在(0，1)内仅有一个交点．

解析作辅助函数φ(x)=2x—∫₀^xf(t)dt一1，将两曲线的交点转化为φ(x)的零点或方程φ(x)=0的根的问题。

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