设为A的特征向量． (I)求a，b及A的所有特征值与特征向量． (Ⅱ)A可否对角化?若可对角化，求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵．

admin2017-12-31 56

问题设

为A的特征向量．
(I)求a，b及A的所有特征值与特征向量．
(Ⅱ)A可否对角化?若可对角化，求可逆矩阵P，使得P^－1AP为对角矩阵．

选项

答案(Ⅰ)由Aα＝λα得[*]，即 [*]解得a＝1，b＝1，λ＝3．由｜λE－A｜＝[*]＝λ(λ－2)(λ－3)＝0得λ₁＝0，λ₂＝2，λ₃＝3． (Ⅱ)因为A的特征值都是单值，所以A可相似对角化．将λ₁＝0代入(λE－A)X＝0得λ₁＝0对应的线性无关特征向量为α₁＝[*] 将λ₂＝2代入(λE－A)X＝0得λ₂＝2对应的线性无关特征向量为α₂＝[*] 将λ₃＝3代入(λE－A)X＝0得λ₃＝3对应的线性无关特征向量为α₃＝[*] [*]

解析

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考研数学三

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