设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且｜f’(x)｜≤2．证明：｜∫02f(x)dx｜≤2．

admin2015-06-26 54

问题设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且｜f’(x)｜≤2．证明：
｜∫₀²f(x)dx｜≤2．

选项

答案由微分中值定理得f(x)一f(0)=f’(ξ₁)x，其中0＜ξ₁＜x，f(x)—f(2)一=f’(ξ₂)(x一2)，其中x＜ξ₂＜2，于是[*]，从而｜∫₀²f(x)dx｜≤∫₀²｜f(x)｜dx=∫₀¹(x)｜dx+∫₁²｜f｜f(x)｜dx ≤∫₀¹2xdx+∫₁²2(2一x)dx=2．

解析

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