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  3. 设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数y=∫ab｜x－t｜φ(t)dt的图形在(a，b)内( )

设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数y=∫ab｜x－t｜φ(t)dt的图形在(a，b)内( )

admin2019-03-11  54
问题 设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数y=∫ab｜x－t｜φ(t)dt的图形在(a，b)内(    )
选项 A、为凸
B、为凹
C、有拐点
D、有间断点
答案B
解析 先将φ(x)利用｜x－t｜的分段性分解变形，有
φ(x)=∫ax(x－t)φ(t)dt+∫xb(t－x)φ(t)dt=x∫axφ(t)dt－∫axtφ(t)dt+∫xbtφ(t)dt－x∫xbφ(t)dt
因为φ(t)在[a，b]上连续，所以φ(x)可导，因而答案不可能是(D)．其余三个选项，只需求出φˊˊ(x)，讨论φˊˊ(x)在(a，b)内的符号即可．因
φˊ(x)=∫axφ(t)dt－∫xbφ(t)dt，
φˊˊ(x)=2φ(x)＞0，x∈[a，b]，
故y=φ(x)在(a，b)内的图形为凹．应选(B)．
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考研数学三

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