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从抛物线y=x2—1的任意一点P(t,t2—1)引抛物线y=x2的两条切线。 (Ⅰ)求这两条切线的切线方程; (Ⅱ)证明该两条切线与抛物线y=x2所围面积为常数.
从抛物线y=x2—1的任意一点P(t,t2—1)引抛物线y=x2的两条切线。 (Ⅰ)求这两条切线的切线方程; (Ⅱ)证明该两条切线与抛物线y=x2所围面积为常数.
admin
2019-07-10
85
问题
从抛物线y=x
2
—1的任意一点P(t,t
2
—1)引抛物线y=x
2
的两条切线。
(Ⅰ)求这两条切线的切线方程;
(Ⅱ)证明该两条切线与抛物线y=x
2
所围面积为常数.
选项
答案
(Ⅰ)抛物线y=x
2
在点(x
0
,x
0
2
)处的切线方程为 y=x
0
2
+2x
0
(x一x
0
),即y=2x
0
x一x
0
2
. 若它通过点P,则 t
2
—1=2x
0
t一x
0
2
,即x
0
2
—2x
0
t+t
2
—1=0, 解得x
0
的两个解 x
1
=t一1,x
2
=t+1. ① 从而求得从抛物线y=x
2
—1的任意一点P(t,t
2
—1)引抛物线y=x
2
的两条切线的方程是 L
1
:y=2x
1
x一x
1
2
;L
2
:y=2x
2
x一x
2
2
. [*] (Ⅱ)这两条切线与抛物线y=x
2
所围图形的面积为 S(t)=∫
x1
t
[x
2
一(2x
1
x一x
1
2
)]dx+∫
t
x2
[x
2
一(2
2
2x一x
2
2
)]dx,下证S(t)为常数. 求出S(t). [*]
解析
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考研数学三
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