2. 考研
  3. 设函数f（x）在[0，π]上连续，且∫0πf（x）dx=∫0πf（x）cosxdx=0。试证明：在（0，π）内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f（ξ1）=f（ξ2）=0。

设函数f（x）在[0，π]上连续，且∫0πf（x）dx=∫0πf（x）cosxdx=0。试证明：在（0，π）内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f（ξ1）=f（ξ2）=0。

admin2017-12-29  55
问题 设函数f（x）在[0，π]上连续，且∫0πf（x）dx=∫0πf（x）cosxdx=0。试证明：在（0，π）内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f（ξ1）=f（ξ2）=0。
选项
答案令F（x）=∫0xf（t）dt，0≤x≤π，则有F（0）=0，F（π）=0。又因为 0=∫0πf（x）cosxdx =∫0πcosxdF（x）= F（x）cosx|0π+∫0πF（x）sinxdx =∫0πF（x）sinxdx， 所以存在ξ∈（0，π），使F（ξ）sinξ=0，不然，则在（0，π）内F（x）sinx恒为正或恒为负，与 ∫0πF（x）sinxdx=0矛盾，但当ξ∈（0，π）时sinξ≠0，故F（ξ）=0。 由以上证得，存在满足0＜ξ＜π的ξ，使得F（0）=F（ξ）=F（π）=0。 再对F（x）在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别应用罗尔定理知，至少存在ξ1∈（0，ξ），ξ2∈（ξ，π）， 使得F’（ξ1）=F’（ξ2）=0，即f（ξ1）=f（ξ2）=0。
解析
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考研数学三

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