设有两个非零矩阵A=[α1，α2，…，αn]T，B=[b1，b2，…，bn]T．设C=E一ABT，其中E为n阶单位阵．证明：CTC=E—BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1．

admin2015-07-22 77

问题设有两个非零矩阵A=[α₁，α₂，…，α_n]^T，B=[b₁，b₂，…，b_n]^T．
设C=E一AB^T，其中E为n阶单位阵．证明：C^TC=E—BA^T—AB^T+BB^T的充要条件是A^TA=1．

选项

答案由于C^T=(E—AB^T)^T(E一AB^T)=(E一BA^T)(E一AB^T)=E一BA^T一AB^T+BA^TAB^T，故若要求C^TC=E-BA^T-AB^T+BB^T，则BA^TAB^T一BB^T=O，B(A^TA-1)B^T=O，即 (A^TA一1)BB^T=O．因为B≠O，所以BB^T≠O．故C^TC=E-BA^T—AB^T+BB^T的充要条件是A^TA=1．

解析

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考研数学三

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