2. 考研
  3. (Ⅰ)设f(x)是连续函数，并满足∫f(x)sinxdx=cos2x+C，又F(x)是f(x)的原函数，且F(0)=0，则F(x)=________； (Ⅱ)若函数f(x)连续并满足f(x)=x+∫01xf(x)dx，则f(x)=_________

(Ⅰ)设f(x)是连续函数，并满足∫f(x)sinxdx=cos2x+C，又F(x)是f(x)的原函数，且F(0)=0，则F(x)=________； (Ⅱ)若函数f(x)连续并满足f(x)=x+∫01xf(x)dx，则f(x)=_________

admin2017-10-23  65
问题 (Ⅰ)设f(x)是连续函数，并满足∫f(x)sinxdx=cos2x+C，又F(x)是f(x)的原函数，且F(0)=0，则F(x)=________；
    (Ⅱ)若函数f(x)连续并满足f(x)=x+∫01xf(x)dx，则f(x)=_________．
选项
答案(Ⅰ)一2sinx； (Ⅱ)x+[*]
解析 (Ⅰ)按题意F(x)=∫0xf(t)dt．为求f(x)，将题设等式求导得
    f(x)sinx=[∫f(x)sinxdx]=(cos2x+C)’=一2sinxcosx，
从而f(x)=一2cosx，于是
    F(x)=∫0xf(t)dt=∫0x一2costdt=一2sinx．
(Ⅱ)定积分是积分和的极限，当被积函数与积分区间确定后，它就是一个确定的数．从而由题设知
可令∫01xf(x)dx=A，只要求得常数A就可得到函数f(x)的表达式．为此将题设等式两端同乘x并从0到1求定积分，就有
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考研数学三

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