2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=∫abf(x)dx，试证：存在一点ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=0．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=∫abf(x)dx，试证：存在一点ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=0．

admin2017-07-26  56
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=∫abf(x)dx，试证：存在一点ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=0．
选项
答案作辅助函数F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导．由拉格朗日定理可知，存在点η∈(a，b)，使得F’(η)=[*]，即 f(η)=[*]∫abf(x)dx=f(a)=f(b)． 于是，在区间[a，η]和[η，b]上分别应用洛尔定理，可知存在点ξ1∈(a，η)，ξ2∈(η，b)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0．再对f’(x)在[ξ1，ξ2]上应用洛尔定理，可知存在点ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得f"(ξ)=0．
解析 由洛尔定理可知：要证存在一点ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=0，
   
对F(x)=∫axf(t)dt由拉格朗日定理便可找到这样的点η．
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考研数学三

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