2. 考研
  3. 二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋aχ22＋χ32－4χ1χ2－8χ1χ3－4χ2χ3经过正交变换化为标准形5y12＋by22－4y32，求： (1)常数a，b； (2)正交变换的矩阵Q．

二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋aχ22＋χ32－4χ1χ2－8χ1χ3－4χ2χ3经过正交变换化为标准形5y12＋by22－4y32，求： (1)常数a，b； (2)正交变换的矩阵Q．

admin2020-03-16  149
问题 二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋aχ22＋χ32－4χ1χ2－8χ1χ3－4χ2χ3经过正交变换化为标准形5y12＋by22－4y32，求：
    (1)常数a，b；
    (2)正交变换的矩阵Q．
选项
答案(1)令[*] 则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX， 矩阵A的特征值为λ1＝5，λ2＝b，λ3＝－4， [*] 从而A＝[*]，特征值为λ1＝λ2＝5，λ3＝－4． (2)将λ1＝λ2＝5代入(λE－A)X＝0，即(5E－A)X＝0， 由5E－A＝[*]得λ1＝λ2＝5对应的线性无关的特征向量为 [*] 将λ3＝－4代入(2E－A)X＝0，即(4E＋A)X＝0， 由4E＋A＝[*]得λ3＝－4对应的线性无关的特征向量为 α3＝[*]． 令[*] 单位化得[*] 所求的正交变换矩阵为 [*]
解析
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考研数学二

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