设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，已知r(A)=2，并且A满足A2－2A=0．则下列各标准二次型 (1)2y12+2y22． (2)2y12． (3)2y12+2y32． (4)2y22+2y32．中可用正交变换化为f的是(

admin2019-08-12 55

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX，已知r(A)=2，并且A满足A²－2A=0．则下列各标准二次型
(1)2y₁²+2y₂²． (2)2y₁²． (3)2y₁²+2y₃²． (4)2y₂²+2y₃²．
中可用正交变换化为f的是( )．

选项 A、(1)．
B、(3)，(4)．
C、(1)，(3)，(4)．
D、(2)．

答案C

解析两个二次型可以用正交变换互相转化的充要条件是它们的矩阵相似，也就是特征值一样．从条件可知，A的特征值0，2，2．(1)，(3)，(4)这3个标准二次型的矩阵的特征值都是0，2，2．(2)中标准二次型的矩阵的特征值是0，0，2．

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