已知三阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A2x=3Ax－2A2x。 (Ⅰ)记P=(x，Ax，A2x)，求三阶矩阵B，使A=PBP－1； (Ⅱ)计算行列式｜A+E｜。

admin2018-04-08 67

问题已知三阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A²x线性无关，且满足A²x=3Ax－2A²x。
(Ⅰ)记P=(x，Ax，A²x)，求三阶矩阵B，使A=PBP^－1；
(Ⅱ)计算行列式｜A+E｜。

选项

答案(Ⅰ)求B，使A=PBP^－1成立，等式两边右乘P，即AP=PB成立。由题设知，AP=A(x，Ax，A²x)=(Ax，A²x，A³x)，又A³x=3Ax一2A²x，故有AP=(Ax，A²x，3Ax－2A²x)=(x，Ax，A²x) [*] 即如果取 [*] 此时的B满足A=PBP^－1，即为所求。 (Ⅱ)由(Ⅰ)及矩阵相似的定义知，A与B相似。由矩阵相似的性质：若A～B，则f(A)～f(B)，则A+E与B+E也相似。又由相似矩阵的行列式相等，得｜A+E｜=｜B+E｜=[*]=一4。

解析

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考研数学一

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已知三阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A2x=3Ax－2A2x。 (Ⅰ)记P=(x，Ax，A2x)，求三阶矩阵B，使A=PBP－1； (Ⅱ)计算行列式｜A+E｜。

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