已知二次型 f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3+2ax2x3 通过正交变换x=Py化成标准形f=3y12+3y22+by32，求参数a，b及正交矩阵P。

admin2018-01-26 83

问题已知二次型
f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂²+x₃²-4x₁x₂-4x₁x₃+2ax₂x₃
通过正交变换x=Py化成标准形f=3y₁²+3y₂²+by₃²，求参数a，b及正交矩阵P。

选项

答案由题意，二次型f及其标准形的矩阵分别是 [*] 在正交变换下A与Λ相似，故有 [*] =-2(a+2)²=0，解得a=-2，b=-3。于是，矩阵A的特征值是3，3，-3。当λ=3时，由(3E-A)x=0，系数矩阵 [*] 得基础解系α₁=(-1，1，0)^t，α₂=(-1，0，1)^T，即λ=3有两个线性无关的特征向量。当λ=-3时，由(-3E-A)x=0，系数矩阵 [*] 得基础解系α₃=(1，1，1)^T，即λ=-3的特征向量。由于λ=3的特征向量α₁，α₂不正交，故需施密特正交化。令β₁=α₁=[*]，则 β₂=α₂-([α₂，β₁]／[β₁，β₁])β=[*] 将三个特征向量单位化，有 [*] 那么，所用坐标变换x=Py中，正交矩阵 P=(γ₁，γ₂，γ₃)=[*]

解析

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考研数学一

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已知二次型 f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3+2ax2x3 通过正交变换x=Py化成标准形f=3y12+3y22+by32，求参数a，b及正交矩阵P。

考研数学一

设0＜a＜b，证明：

设，求a，b的值．

求二阶常系数线性微分方程y’’+λy’=2x+1的通解，其中λ为常数．

设p(x)，g(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶线性非齐次方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)①的3个解，且则式①的通解为__________.

(1)证明：(2)求

证明：实对称矩阵A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B，使得AB+BTA正定．

设A=E+αβT，其中α=[a1,a2……an]T≠0，β=[b1,b2……bn]T=0，且αTβ=2．求可逆矩阵P，使得P-1AP=A．

设a1，a2，…，an是互不相同的实数，且求线性方程组AX=b的解．

若视∑为曲面x2＋y2＋z2＝a2(y≥0，z≥0)的上侧，则当f(x，y，z)为下述选项中的函数()，曲线积分。

设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX＝b的三个解向量，且A的秩(A)＝3，α1＝[1，2，3，4]T，α2＋α3＝[0，1，2，3]T，C表示任意常数，则线性方程组AX＝b的通解X＝()。

下列哪一行为成立侵占罪?()(2017／2／18)

适用于那些岗位划分较粗，岗位之间存在工作差别、岗位内部的员工之间存在技术熟练程度差异的企业或部门的岗位工资类型是()。

AfewyearsagoIhadan"aha!"momentregardinghandwriting.Ihadinmyhandasheetofpaperwithhandwritteninstructio

生命教育是近年来在我国兴起的一种新的教育理念与实践，是以人为本教育的体现，是素质教育的进一步，也是本真教育的回归，尽管时间短，但发展迅速。填入画横线部分最恰当的一项是：

简要评价概念形成的两种理论。

设区域D是x2+y2≤1在第一、四象限的部分，f(x，y)在D上连续，则二重积分f(x，y)dxdy=()．

Doorsandwindowscan’tkeepthemout;airportimmigrationofficerscan’tstopthemandtheInternetisanabsolutereproduction

已知二次型 f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3+2ax2x3 通过正交变换x=Py化成标准形f=3y12+3y22+by32，求参数a，b及正交矩阵P。

考研数学一

设0＜a＜b，证明：

设，求a，b的值．

求二阶常系数线性微分方程y’’+λy’=2x+1的通解，其中λ为常数．

设p(x)，g(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶线性非齐次方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)①的3个解，且则式①的通解为__________.

(1)证明：(2)求

证明：实对称矩阵A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B，使得AB+BTA正定．

设A=E+αβT，其中α=[a1,a2……an]T≠0，β=[b1,b2……bn]T=0，且αTβ=2．求可逆矩阵P，使得P-1AP=A．

设a1，a2，…，an是互不相同的实数，且求线性方程组AX=b的解．

若视∑为曲面x2＋y2＋z2＝a2(y≥0，z≥0)的上侧，则当f(x，y，z)为下述选项中的函数()，曲线积分。

设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX＝b的三个解向量，且A的秩(A)＝3，α1＝[1，2，3，4]T，α2＋α3＝[0，1，2，3]T，C表示任意常数，则线性方程组AX＝b的通解X＝()。

下列哪一行为成立侵占罪?()(2017／2／18)

适用于那些岗位划分较粗，岗位之间存在工作差别、岗位内部的员工之间存在技术熟练程度差异的企业或部门的岗位工资类型是()。

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生命教育是近年来在我国兴起的一种新的教育理念与实践，是以人为本教育的体现，是素质教育的进一步________，也是本真教育的回归，尽管________时间短，但发展迅速。填入画横线部分最恰当的一项是：

简要评价概念形成的两种理论。

设区域D是x2+y2≤1在第一、四象限的部分，f(x，y)在D上连续，则二重积分f(x，y)dxdy=()．

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生命教育是近年来在我国兴起的一种新的教育理念与实践，是以人为本教育的体现，是素质教育的进一步，也是本真教育的回归，尽管时间短，但发展迅速。填入画横线部分最恰当的一项是：