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已知二次型 f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3+2ax2x3 通过正交变换x=Py化成标准形f=3y12+3y22+by32，求参数a，b及正交矩阵P。
已知二次型 f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3+2ax2x3 通过正交变换x=Py化成标准形f=3y12+3y22+by32，求参数a，b及正交矩阵P。
admin
2018-01-26
62
问题
已知二次型
f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
-4x
1
x
2
-4x
1
x
3
+2ax
2
x
3
通过正交变换x=Py化成标准形f=3y
1
2
+3y
2
2
+by
3
2
，求参数a，b及正交矩阵P。
选项
答案
由题意，二次型f及其标准形的矩阵分别是 [*] 在正交变换下A与Λ相似，故有 [*] =-2(a+2)
2
=0， 解得a=-2，b=-3。 于是，矩阵A的特征值是3，3，-3。 当λ=3时，由(3E-A)x=0，系数矩阵 [*] 得基础解系α
1
=(-1，1，0)
t
，α
2
=(-1，0，1)
T
，即λ=3有两个线性无关的特征向量。 当λ=-3时，由(-3E-A)x=0，系数矩阵 [*] 得基础解系α
3
=(1，1，1)
T
，即λ=-3的特征向量。 由于λ=3的特征向量α
1
，α
2
不正交，故需施密特正交化。 令β
1
=α
1
=[*]，则 β
2
=α
2
-([α
2
，β
1
]／[β
1
，β
1
])β=[*] 将三个特征向量单位化，有 [*] 那么，所用坐标变换x=Py中，正交矩阵 P=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/Zcr4777K
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考研数学一
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