设A是n阶矩阵，下列命题错误的是( )。

admin2021-11-25 72

问题设A是n阶矩阵，下列命题错误的是( )。

选项 A、若A²=E,则－1一定是矩阵A的特征值
B、若r(E+A)＜n,则－1一定是矩阵A的特征值
C、若矩阵A的各行元素之和为－1，则－1一定是矩阵A的特征
D、若A是正交矩阵，且A的特征值之积小于零，则－1一定是A的特征值

答案A

解析若r(E+A)＜n,则｜E+A｜=0,于是－1为A的特征值，
若A的每行元素之和为－1，则

,根据特征值特征向量的定义，－1为A的特征值，若A是正交矩阵，则A^TA=E,令AX=λx(其中X≠0),则X^TA^T=λX^T,于是X^TA^TAX=λ²X^TX，即(λ²－1)X^TX=0,而X^TX＞0,故λ²=1,再由特征值之积为负，得－1为A的特征值，选A。

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