设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr线性无关，向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs可由(Ⅰ)线性表示： βj=a1jα1+a2jα2+…+arjαr(j=1，2，…，s)．证明：向量组(Ⅱ)线性无关矩阵A=(aij)r×s的秩为s．

admin2018-07-27 45

问题设向量组(Ⅰ)：α₁，α₂，…，α_r线性无关，向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅱ)：β₁，β₂，…，β_s可由(Ⅰ)线性表示：
β_j=a_1jα₁+a_2jα₂+…+a_rjα_r(j=1，2，…，s)．证明：向量组(Ⅱ)线性无关

矩阵A=(a_ij)_r×s的秩为s．

选项

答案不妨设α_i(i=1，…，r)及β_j(j=1，…，s)均为n维列向量，则题设的线性表示或可写成矩阵形式： [β₁ β₂…β_s]=[α₁ α₂…α_r]A，或B=PA，其中B=[β₁ β₂…β_s]为n×s矩阵，P=[α₁ α₂…α_r]为n×r矩阵，且P的列线性无关．于是可证两个齐次线性方程组Bx=0与Ax=0同解：若Bx=P(Ax)=0，因P的列线性无关，得Ax=0；若Ax=0，两端左乘P，得PAx=Bx=0，所以Bx=0与Ax=0同解，[*]s－r(B)=s－r(A)，[*]r(B)=r(A)，[*](Ⅱ)线性无关[*](B)=s[*]r(A)=s．

解析

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考研数学三

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设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr线性无关，向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs可由(Ⅰ)线性表示： βj=a1jα1+a2jα2+…+arjαr(j=1，2，…，s)．证明：向量组(Ⅱ)线性无关矩阵A=(aij)r×s的秩为s．

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