已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)-0，f(1)=1。证明： (Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ； (Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1。

admin2020-03-05 24

问题已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)-0，f(1)=1。证明：
(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1-ξ；
(Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1。

选项

答案(Ⅰ)令F(x)=f(x)-1+x，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1＜00，F(1)=1＞0，于是由介值定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1-ξ。 (Ⅱ)在[0，ξ]和[ξ，1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得 [*]

解析

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考研数学一

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