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(1998年试题，十二)已知线性方程组 (I)的一个基础解系为(b11，b12，…，b1,2n)T，(b21，b22．…，b2,2n)T，…，(bn1,bn2，…，bn,2n)T．试写出线性方程组 (Ⅱ)的通解，并说明理由．
(1998年试题，十二)已知线性方程组 (I)的一个基础解系为(b11，b12，…，b1,2n)T，(b21，b22．…，b2,2n)T，…，(bn1,bn2，…，bn,2n)T．试写出线性方程组 (Ⅱ)的通解，并说明理由．
admin
2013-12-27
65
问题
(1998年试题，十二)已知线性方程组
(I)
的一个基础解系为(b
11
，b
12
，…，b
1,2n
)
T
，(b
21
，b
22
．…，b
2,2n
)
T
，…，(b
n1
,b
n2
，…，b
n,2n
)
T
．试写出线性方程组
(Ⅱ)
的通解，并说明理由．
选项
答案
对方程组(I)，引入如下记号α
i
=(α
i1
，α
i2
，…，α
i,2n
)(i=1，2，…，n)则其系数矩阵[*]同样对方程组(Ⅱ)引入记号b
i
=(b
i1
,b
i2
，…，b
i,2n
)(i=1，2，…，n)，相应的系数矩阵则[*](I)．(Ⅱ)的矩阵形式为Ax=0及By=0．根据题设b
1
T
，b
2
T
，…，b
n
T
是(I)的一个基础解系，即A(b
1
T
，b
2
T
，…，b
n
T
)=(0，0，…，0)，写成矩阵形式为AB
T
=0从而(AB
T
)
T
=BA
T
=0即B(α
1
T
，α
2
T
，…，α
n
T
)=(0，0，…，0)，因此α
1
T
，α
2
T
，…，α
n
T
是(Ⅱ)的n个解向量．下面判断这n个解向量是否构成(Ⅱ)的基础解系，这一点需要利用秩的概念和性质．由已知b
1
T
，b
2
T
，…，b
n
T
是(I)的基础解系，则n=2n—rA，从而rA=n，因此A的n个行向量α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关，因此α
1
T
，α
2
T
，…，α
n
T
是(Ⅱ)的n个线性无关解向量，同时b
1
T
，b
2
T
，…，b
n
T
线性无关，因此B的n个行向量也线性无关，从而rB=n，则有2n—rB=n，即(Ⅱ)的解空间的维数也为n，综上，α
1
T
，α
2
T
，…，α
n
T
就是(Ⅱ)的一个基础解系，因此不难得到(Ⅱ)的通解为y=λ
1
α
1
T
+λ
2
α
2
T
+…+λ
n
α
n
T
，其中λ
i
(i=1，2，…，n)为任意常数．
解析
欲证明k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
是Ax=0的通解，则须证明：(1)α
1
，α
2
……α
s
是Ax=0的解；(2)α
1
，α
2
……α
s
线性无关；(3)s=n—rA，即方程组的任意解均可由向量组α
1
，α
2
……α
s
线性表示．
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