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设齐次线性方程组 其中a≠O,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解,有无穷多组解?存有无穷多组解时,求 出全部解,并用基础解系表示全部解.
设齐次线性方程组 其中a≠O,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解,有无穷多组解?存有无穷多组解时,求 出全部解,并用基础解系表示全部解.
admin
2013-02-27
61
问题
设齐次线性方程组
其中a≠O,b≠0,n≥2.试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解,有无穷多组解?存有无穷多组解时,求
出全部解,并用基础解系表示全部解.
选项
答案
方程组的系数行列式 [*] [*] =[a+(n-1)6](a-b)
n-1
, (1)当a≠b且n≠(1一n)6时,方程组只有零解. (2)当a=b时,对系数矩阵作初等行变换,有 [*] 由于n-r(A)=n-1,取自由变量为x
2
,x
3
,…,x
n
,得到基础解系为 α
1
=(-1,1,0,…,0)
T
,α
2
=(-1,0,1,0,…,0)
T
,α
n-1
=(-1,0,0,…,0,1)
T
. 方程组的通解是:k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n-
α
n-1
,其中k
1
,k
2
,…,k
n-1
为任意常数. (3)当n=(1-n)b时,对系数矩阵作初等行变换,有 [*] r(A)=n-1;有n-r(A)=1,即基础解系只有1个解向量,取自由变量为x,则基础解系为α=(1,1,1,…,1)
T
. 故通解为kα,其中k为任意常数.
解析
这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,Ax=0只有零解的充分必要条件是丨A丨≠0,故可从计算系数行列式人手.
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考研数学三
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