2. 考研
  3. 设齐次线性方程组 其中a≠O，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解?存有无穷多组解时，求 出全部解，并用基础解系表示全部解．

设齐次线性方程组 其中a≠O，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解?存有无穷多组解时，求 出全部解，并用基础解系表示全部解．

admin2013-02-27  63
问题 设齐次线性方程组

其中a≠O，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解?存有无穷多组解时，求
出全部解，并用基础解系表示全部解．
选项
答案方程组的系数行列式 [*] [*] =[a+(n-1)6](a-b)n-1， (1)当a≠b且n≠(1一n)6时，方程组只有零解． (2)当a=b时，对系数矩阵作初等行变换，有 [*] 由于n-r(A)=n-1，取自由变量为x2，x3，…，xn，得到基础解系为 α1=(-1，1，0，…，0)T，α2=(-1，0，1，0，…，0)T，αn-1=(-1，0，0，…，0，1)T． 方程组的通解是：k1α1+k2α2+…+kn-αn-1，其中k1，k2，…，kn-1为任意常数． (3)当n=(1-n)b时，对系数矩阵作初等行变换，有 [*] r(A)=n-1;有n-r(A)=1，即基础解系只有1个解向量，取自由变量为x，则基础解系为α=(1，1，1，…，1)T． 故通解为kα，其中k为任意常数．
解析 这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，Ax=0只有零解的充分必要条件是丨A丨≠0，故可从计算系数行列式人手．
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考研数学三

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