求函数f(x)=(2一t)e-tdt的最值．

admin2018-11-21 79

问题求函数f(x)=

(2一t)e^-tdt的最值．

选项

答案由于f(x)是偶函数，我们只需考察x∈[0，+∞)．由变限积分求导公式得 f’(x)=2x(2一x²)[*]．解f’(x)=0得x=0与x=[*]，于是 [*] 从而，f(x)的最大值是f([*])=∫₀²(2一t)e^-tdt=一∫₀²(2一t)de^-t=(t一2)e^-t｜₀²一∫₀²e^-tdt =2+e^-t｜₀²=1+e^-2．由上述单调性分析，为求最小值，只需比较f(0)与[*]f(x)的大小．由于 [*]f(x)=∫₀^+∞(2一t)e^-tdt=[(t一2)e^-t+e^-t]｜｜₀^+∞=1＞f(0)=0，因此f(0)=0是最小值．

解析 f(x)的定义域是(一∞，+∞)，由于它是偶函数，故只需考虑x∈[0，+∞)．求f’(x)和驻点并考察驻点两侧的单调性．由于需要考察f(0)是否为最值，还需讨论极限值

f(x)．

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考研数学一

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