2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=0．证明： ∫abf2(x)dx≤∫ab[f′2(x)]2dx.

设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=0．证明： ∫abf2(x)dx≤∫ab[f′2(x)]2dx.

admin2022-03-20  13
问题 设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=0．证明：
                           ∫abf2(x)dx≤∫ab[f′2(x)]2dx.
选项
答案由f(a)=0，得f(x)-f(a)=f(x)=∫axf′(t)dt，由柯西不等式得 f2(x)=(∫axf′(t)dt)2≤∫ax12dt∫axf′2(t)dt≤(x-a)∫abf′2(x)dx， 积分得∫abf2(x)dx≤∫ab(x-a)dx·∫abf′2(x)dx=[(b-a)2/2]∫abf′2(x)dx.
解析
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考研数学一

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