设A=E+ααT，其中α=(a1，a2，a3)T，且αTα=2，求A的特征值和特征向量．

admin2019-12-26 27

问题设A=E+αα^T，其中α=(a₁，a₂，a₃)^T，且α^Tα=2，求A的特征值和特征向量．

选项

答案由Aα=(E+αα^T)α=α+αα^Tα=3α，于是得A的特征值λ₁=3，其对应的特征向量为k₁α，k₁≠0为常数．又由A=E+αα^T，得A－E=αα^T，两边取行列式|A－E|=|αα^T|=0，由此知λ₂=1是A的另一个特征值．再由矩阵A的特征值的性质，trA=λ₁+λ₂+λ₃=4+λ₃，从而λ₁=trA－4=3+α^Tα－4=1．由于λ₂=λ₃=1，对应的特征矩阵为A－E，由题设条件α=(a₁，a₂，a₃)^T≠0，不妨设a₁≠0，则 [*] 由此得方程组(A－E)x=0的同解方程组为 a₁x₁=－a₂x₂－a₃x₃，解得λ₂=λ₃=1对应的特征向量为x=k₂(－a₂，a₁，0)^T+k₃(－a₃，0，a₁)^T，其中k₂，k₃是不同时为零的任意常数．

解析

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考研数学三

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