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  3. 过平面π1：2x－3y－z+1=0与平面π1：x+y+z=0的交线，且与平面π2垂直的平面方程是_____________．

过平面π1：2x－3y－z+1=0与平面π1：x+y+z=0的交线，且与平面π2垂直的平面方程是_____________．

admin2020-04-02  15
问题 过平面π1：2x－3y－z+1=0与平面π1：x+y+z=0的交线，且与平面π2垂直的平面方程是_____________．
选项
答案8x－7y－z+3=0．
解析 方法一  设已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2，由题意知，所求平面方程的法向量n同时垂直于π1和π2的交线L和n2，而交线L的方向向量为
          n×n2=(2，－3，1)×(1，1，1)=(-2，－3，5)
则n=(－2，－3，5)×(1，1，1)=(－8，7，1)，在交线L上任取点于是所求平面方程为
              8x－7y－z+3=
    方法二  设过交线L的平面方程为
           2x-3y－z+1+λ(z+y+z)=0
  或    (2+λ)x+(λ－3)y+(λ－1)z+1=0
  则由题意，所求平面与平面x+y+z=0垂直，故有
    (2+λ)+(λ－3)+(z－1)=0
  解得代入所设方程，即得所求平面方程为8x－7y－z+3=0．
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