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设曲线y=k(1-x2)(k>0)在点A(1,0)和点B(-1,0)处的法线与曲线所围封闭图形的面积最小,则k=________
设曲线y=k(1-x2)(k>0)在点A(1,0)和点B(-1,0)处的法线与曲线所围封闭图形的面积最小,则k=________
admin
2022-06-09
89
问题
设曲线y=k(1-x
2
)(k>0)在点A(1,0)和点B(-1,0)处的法线与曲线所围封闭图形的面积最小,则k=________
选项
答案
[*]
解析
由y=k(1-x
2
),有y’=-2kx,过点A(1,0)的法线斜率为-1/y’|
x=1
=1/2k,
法线方程为y=1/2k(x-1)
如图所示,所围图形关于Y轴对称,故面积为
A(k)=2∫
0
1
[k(1-x)-1/2k (x-1)]dx
=4/3 k+1/2k
令A’(k)=4/3-1/2k
2
=0,解得k=
,由A’’(k)=1/h
3
>0,知当k=
时,A(k)最小,k=
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/Y9f4777K
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考研数学二
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