2. 考研
  3. 设矩阵A＝仅有两个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使P﹣1AP为对角矩阵．

设矩阵A＝仅有两个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使P﹣1AP为对角矩阵．

admin2021-03-15  61
问题 设矩阵A＝仅有两个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使P﹣1AP为对角矩阵．
选项
答案由|λE－A|＝[*]＝(λ－b)(λ－1)(λ－3)＝0， 得特征值λ1＝1，λ2＝3，λ3＝b． 由题设矩阵A仅有两个不同特征值，故b＝1或b＝3． 1°若b＝1．因为A可相似对角化，所以r(A－E)＝1，故a＝1． (A－E)X＝0的基础解系为ξ1＝(1，－1，0)T，ξ2＝(0，0，1)T． (A－3E)X＝0的基础解系为ξ3＝(1，1，1)T， 取P＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝[*]，则P－1AP＝[*]. 2°若b＝3，因为A可相似对角化，所以r(A－3E)＝1，故a＝－1． (A－E)X＝0的基础解系为ξ1＝(－1，1，1)T， (A－3E)X＝0的基础解系为ξ2＝(0，0，1)T，ξ3＝(1，1，0)T， 取P＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝[*]，则P－1AP＝[*].
解析
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考研数学二

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